Muchos problemas relacionados con el campo de la ingeniería se pueden expresar en términos
de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.
Cuando se resuelven numéricamente ecuaciones diferenciales pueden surgir sistemas lineales
con 20,000 variables. Los equipos de cómputo disponibles en la actualidad podrían requerir
incluso días para resolver estos sistemas por métodos directos (como eliminación o factorización).
El método de Jácobi es un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal
Ax = b

Comienza con una aproximación inicial x(0) a la solución x y genera una sucesión de vectores
x(k) que convergen a la solución x.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es un conjunto de ecuaciones de la forma:



O bien en su forma matricial:



Que a su vez se puede expresar como:
Ax = b

Donde “A” es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b el vector de términos
independientes.
La solución del sistema de ecuaciones es un conjunto de n valores x1, x2,...,xn que satisfacen
simultáneamente todas las ecuaciones.

Ilustrando el método de Gauss-Seidel con un sistema de ecuaciones de 3x3, si el vector:



Es el vector aproximación a la solución x después de k iteraciones, entonces se tiene que para
la siguiente aproximación:



Para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas se tiene la siguiente fórmula (usando una
notación mas compacta):